ความจริงบนเส้นขนาน

ในค่ำคืนระยะสี่ของมาตรการผ่อนคลาย กับการสลายของเคอร์ฟิว

ณ หาดทรายที่ระยับประกายจากแสงจันทร์ มีชายหนุ่มและหญิงสาวกำลังพูดคุย

“นับจากนี้ไป เราสองคนจะเหมือนเส้นขนานกันแล้วใช่ไหม” เสียงชายหนุ่มตัดพ้อ

“ใช่ และฉันหวังว่า มันจะเป็นเส้นขนานในเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกอีกด้วย” หญิงสาวสะบัดเสียงและเดินจาก

ถ้อยคำที่่ทิ้งไว้ สตั๊นชายหนุ่มให้นิ่งงัน ดาเมจที่โดน ไม่ใช่แค่ความเศร้า แต่ความงงก็มา

ถ้าวันหนึ่ง เส้นทางที่เราเคยเชื่อมั่นมาตลอดได้ปิดตัวลง เราจะทำอย่างไร? คณิตศาสตร์ทั้งวงการเคยเดินทางถึงจุดนี้ โดยมีเส้นขนานเป็นตัวเปิดประเด็น ชายหนุ่ม เอ้ยไม่ใช่ วงการคณิตศาสตร์จะมูฟออนอย่างไร? โปรดติดตาม

…………….

คณิตศาสตร์ในยุคแรกเริ่ม งอกงามตามจังหวะการใช้ประโยชน์ของผู้คน เช่น การคำนวณพืชผล เสบียง บัญชี คาดการณ์น้ำขึ้นน้ำลง จังหวะของฤดูกาล ฯลฯ

เรขาคณิตหรือ geometry ก็เช่นกัน (geo = ผืนดิน, โลก และ metry = การวัด) พัฒนาจากการศึกษาฟ้าและดิน

ท้องฟ้ามีวิถีโคจรดวงดาว ผืนดินมีการสำรวจ วัดพื้นที่ และก่อสร้าง ให้ศึกษา

เรขาคณิตในช่วงหยั่งราก สะสมข้อสังเกตจากการใช้งานจริง แต่ความเชื่อที่ไม่พิสูจน์ อาจเป็นเหมือนระเบิดเวลา พร้อมจะปะทุหายนะ ในยามที่ความเชื่อมั่นเกินเลยจากความจริง และการพิสูจน์เท่าที่มี ก็ปะปนด้วยข้อผิดพลาดและสับสน

ช่วง พ.ศ. ๒๐๐ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกนามว่า ยุคลิด (Euclid) ได้วางระบบ “เรขาคณิตแบบยุคลิด” ขึ้น ระบบนี้สำคัญอย่างไร? ระบบนี้ได้กลายเป็นอภิมหารากฐาน ของวิธีการทางคณิตศาสตร์ อีกทั้งได้รับเสียงตอบรับอันดีจากเหล่าปัญญาชนจนถึงปัจจุบัน มีหลายคนกล่าวว่า ถ้าจะเรียนรู้การให้เหตุผล ก็มิอาจจะข้ามการศึกษาตำรา “Elements” ของยุคลิดไปได้ แม้แต่พลาโตนักปราชญ์ที่ใหญ่จนใครก็รู้จัก ยังติดประกาศหน้าสำนักว่า “หากสูเจ้าไม่รู้เรขาคณิต ก็หมดสิทธิจะก้าวเข้ามา” (Let no-one ignorant of geometry enter here.)

Insight สำคัญในวิธีคิดของยุคลิด คือ ความจริงทั้งหลายควรมีจุดเริ่มต้นสักที่ มิเช่นนั้นการพิสูจน์ต่างๆ จะวนไปเวียนมาไม่สิ้นสุด

และข้อความที่ใช้เป็นจุดเริ่มต้น จะต้องเป็นจริงแบบไร้ข้อกังขา และควรจะมีให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ข้อความตั้งต้นนี้เรียกกันว่า “สัจพจน์” (axiom)

ยุคลิดเลือกข้อความที่เป็นสัจพจน์มา ๕ ข้อ เช่น “จุดสองจุดใดๆ จะมีเส้นตรงหนึ่งเส้นที่เชื่อมสองจุดนั้น” เป็นต้น จากนั้นความรู้ต่างๆ จะถูกบันทึกว่าจริง ต้องพิสูจน์จากสัจพจน์หรือความรู้อื่นที่พิสูจน์ก่อนหน้า ภายใต้กติกาของตรรกศาสตร์

เรขาคณิตของยุคลิดก่อให้เกิดทฤษฎีบทมากมาย สร้างความประทับใจทั้งเชิงเนื้อหาและวิธีการ จนแม้แต่แขนงวิชาอื่น เช่น ฟิสิกส์ เคมี ปรัชญา นิติศาสตร์ ยังมีส่วนของความพยายาม ที่จะเดินตามรอยวิธีคิดของยุคลิด เท่าที่บริบทของวิชาจะอำนวย

อย่างไรก็ตาม ในขณะที่สัจพจน์ต่างๆ ของยุคลิดดูโอโม่เจิดจ้าว่าถูกต้อง แต่มีสัจพจน์ข้อ ๕ ที่ดูหมองไม่เข้าพวก ตัวยุคลิดเองก็ใส่สัจพจน์ข้อนี้ไว้ท้ายสุดเหมือนถูกบังคับ

สัจพจน์นี้มีใจความว่า “ถ้าเส้นตรง R ไม่ผ่านจุด P แล้วจะมีเส้นตรง S เพียงเส้นเดียว ที่ขนานกับ R และผ่านจุด P”

หลายคนคิดว่าข้อความนี้ มันน่าจะลดระดับเป็นทฤษฎีบทได้ นั่นคือความจริงของมัน น่าจะสามารถพิสูจน์จากสัจพจน์ที่เหลือได้

กว่าหนึ่งพันปี มีคำถามคาใจว่า จะเกิดอะไรขึ้น ถ้าสัจพจน์ข้อ ๕ เปลี่ยนเป็น “ไม่มีเส้นตรง S” หรือ “มีเส้นตรง S มากกว่าหนึ่งเส้น” ผู้ที่ศึกษาคำถามนี้มีมากมาย และบางคนก็ไม่ธรรมดา มีชื่อชั้นในระดับพรีเมี่ยม อย่างเช่น โอมาร์ คัยยาม พหูสูตอิสลาม เจ้าของชิ้นงาน “รุไบยาท” วรรณกรรมอมตะ หรือแม้แต่ คาร์ล เกาส์ เจ้าชายแห่งวงการคณิตศาสตร์ก็มา แต่ถึงผลลัพธ์ที่ศึกษาจะมีมาก ทว่ายังไม่มีใครเลย ที่ได้รับเครดิตว่าให้กำเนิดเรขาคณิตใหม่ เหตุผลคืออะไร? เรื่องนี้มีเงื่อนงำ

เรื่องมีอยู่ว่า นักคณิตศาสตร์เหล่านั้น ไม่เชื่อว่าผลลัพธ์ที่พวกตนพิสูจน์ได้จะเป็นจริง เพราะผลมันแปลกเกิน เช่น “มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมใดๆ รวมกันไม่เท่ากับ ๑๘๐ องศา”

พวกเขาคิดว่า ผลลัพธ์แปลกชวนโป๊ะแตกแบบนี้ เกิดจากการที่สัจพจน์ข้อ ๕ ถูกเปลี่ยน ดังนั้น สัจพจน์ข้อ ๕ จึงควรจะเป็นจริง ขณะที่บางคนเช่น คาร์ล เกาส์ ถือว่าเขาแค่คิดเล่นๆ ไม่เห็นต้องตีพิมพ์เรื่องเหลวไหลให้ออกสื่อ

จนกระทั่งประมาณ พ.ศ. ๒๓๗๓ (เทียบให้ใกล้ตัว เป็นสมัยรัชกาลที่ ๓ ของไทย) นิโคไล โลบาเชฟสกี้ (Nikolai Lobachevsky) ชาวรัสเซีย และ ยาโนส โบยิเอ (János Bolyai) ชาวฮังการี ต่างคนต่างพัฒนาเรขาคณิตที่ตัดทอนหรือเปลี่ยนแปลงสัจพจน์ข้อ ๕ โดยไม่ทราบว่าอีกคนกำลังทำงานคล้ายๆ กันแบบนี้อยู่ พวกเขาได้สร้างระบบเรขาคณิตใหม่ที่รัดกุม และมีการนำผลลัพธ์ของเรขาคณิตแขนงใหม่นี้ใช้กับพื้นผิวที่ไม่ราบเรียบ ที่เด่นๆ ในยุคหลังคือทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ ที่ถือว่าอวกาศมีความโค้งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง

ที่สุดแล้ว เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด ก็ได้อัพสเตตัสเป็นคณิตศาสตร์ที่เที่ยงแท้สาขาหนึ่ง ไม่ใช่สิ่งแปลกปลอมหรือล้อเล่นอีกต่อไป ในขณะที่ โลบาเชฟสกี้และโบยิเอ ต่างได้รับการยกย่องให้เป็นบิดาแห่งเรขาคณิตแขนงนี้

นักคณิตศาสตร์เคยเชื่อว่า สมบัติเรขาคณิตทั้งปวง ตั้งแต่ฟ้าจรดดิน สามารถอธิบายได้ด้วยระบบยุคลิด เหมือนที่โคนันเชื่อว่า “ความจริงมีเพียงหนึ่งเดียว” แต่การขึ้นผงาดของเรขาคณิตศาสตร์นอกแบบ บีบให้นักคณิตศาสตร์ต้องเปิดใจรับว่า ระบบคณิตศาสตร์เพียงหนึ่ง อาจไม่ครอบคลุมความจริงทั้งหมด คำว่า “สัจพจน์” (axiom) ในบางตำรา ถูกลดระดับความศักดิ์สิทธิ์ โดยเปลี่ยนเป็นคำว่า “สมมติฐาน” (postulate) แทน

ความเชื่อมั่นที่สลาย อาจคล้ายอาการอกหัก แต่เมื่อเส้นทางหนึ่งปิดไป เส้นทางใหม่ก็เปิดขึ้น นั่นคืออิสรภาพของนักคณิตศาสตร์ ที่สามารถมูฟออนศึกษาระบบใหม่ๆ ได้ แม้จะมีความต่างระหว่างระบบที่ศึกษาก็ตาม

(ยังมีระบบเรขาคณิตที่ถูกสร้างเพิ่มอีกมากมาย เช่น ระบบเรขาคณิตทรงกลม หรือ spherical geometry ที่ผิดแผกออกไปอีก เช่น เส้นตรงในระบบคือ great cycle ที่ถ้าอธิบายต่อ ก็จะซับซ้อนเกิน ตัดจบเพียงเท่านี้ดีกว่า)

……………..

ด้วยความคับข้องใจ ชายหนุ่มค้นข้อมูล จนเข้าใจว่าหญิงสาวหมายถึงอะไร

“เส้นขนานในเรขาไฮเพอร์โบลิก จะห่างจากกันมากขึ้นเรื่อยๆ”

ใจจะบางไปไหม? เมื่อได้อ่านประโยคนี้

ชายหนุ่มสูดหายใจลึก ไม่อาจปล่อยความหวังให้บินหาย

ใช่สิ ถึงเธออยากให้เป็นเหมือนเส้นขนานบนพื้นผิวไฮเพอร์โบลิก แต่เราจะพยายามทุกทาง ให้พื้นผิวชีวิตกลายมาเป็นแบบทรงกลม

เพราะในพื้นผิวนี้ เส้นตรงคู่ใดๆ จะมาบรรจบพบกันอีกครั้ง